Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(－3，0)，若将经过A、C两点的直线y＝kx＋b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

(1)求直线AC及抛物线的函数表达式；

(2)如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S_△ABP、S_△BPC，且S_△ABP∶S_△BPC＝2∶3，求点P的坐标；

(3)设⊙Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点， 　　∴，． 　　将代入，得．解得． 　　∴直线AC的函数表达式为． 　　∵抛物线的对称轴是直线 　　∴解得 　　∴抛物线的函数表达式为． 　　(2)如图，过点B作BD⊥AC于点D． 　　∵， 　　∴ 　　∴． 　　过点P作PE⊥x轴于点E， 　　∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO， 　　∴， 　　∴ 　　∴，解得 　　∴点P的坐标为 　　(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况． 　　设点Q的坐标为． 　　①当⊙Q与y轴相切时，有，即． 　　②当时，得，∴ 　　当时，得，∴ 　　①当⊙Q与x轴相切时，有，即 当时，得，即，解得，∴ 　　当时，得，即，解得，∴，． 　　综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，． 　　(Ⅱ)设点Q的坐标为． 　　当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有． 　　由，得，即， 　　∵△= 　　∴此方程无解． 　　由，得，即， 　　解得 　　∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切．