题目内容
已知△BCD中，BC=BD，以BD为直径⊙O的交BC于E，交CD于M．
（1）如图1，求证：
=
．
（2）如图2，过B作BA∥CD交⊙O于A，若CE=2，CM=
，求AE的长．
（1）如图1，求证：
 |
| DM |
|
| EM |
（2）如图2，过B作BA∥CD交⊙O于A，若CE=2，CM=
| 6 |
分析：（1）连接BM，由BD为圆O的直径，利用直径所对的角为直角得到BM垂直于CD，由BD=BC，利用三线合一得到BM为角平分线，得到一对圆周角相等，利用相等的圆周角所对的弧相等即可得证；
（2）连接AD，EM，DE，在直角三角形DEC中，由CE与CD的长，利用勾股定理求出DE的长，再由三角形BMC与三角形DEC相似，由相似得比例求出BM的长，再由AB与DM平行，得到一对角为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形ABMD为矩形，利用矩形的对边相等得到AB=DM，利用等弦对等劣弧，得到弧AB=弧DM，再由弧DM=弧EM，得到弧BM=弧AE，进而得到AE=BM，即可确定出AE的长．
（2）连接AD，EM，DE，在直角三角形DEC中，由CE与CD的长，利用勾股定理求出DE的长，再由三角形BMC与三角形DEC相似，由相似得比例求出BM的长，再由AB与DM平行，得到一对角为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形ABMD为矩形，利用矩形的对边相等得到AB=DM，利用等弦对等劣弧，得到弧AB=弧DM，再由弧DM=弧EM，得到弧BM=弧AE，进而得到AE=BM，即可确定出AE的长．
解答：
解：（1）连接BM，如图1所示，
∵BD为圆O的直径，
∴∠BMD=90°，即BM⊥CD，
∵BD=BC，
∴BM平分∠DBC，即∠DBM=∠CBM，
∴
=
；
（2）连接AD，EM，DE，如图2所示，
∵BD为圆O的直径，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，CE=2，DC=2CM=2
，
根据勾股定理得：DE=
=2
，
∵∠DEC=∠BMC=90°，∠C=∠C，
∵△DEC∽△BMC，
∴
=
，即BM=
=
，
∵AB∥DC，
∴∠BAD=∠ADM=90°，
∵∠BMD=90°，
∴四边形ABMD为矩形，
∴AB=DM，
∴
=
，
∵
=
，
∴
=
，
∴
+
=
+
，即
=
，
∴AE=BM=
．
解：（1）连接BM，如图1所示，∵BD为圆O的直径，
∴∠BMD=90°，即BM⊥CD，
∵BD=BC，
∴BM平分∠DBC，即∠DBM=∠CBM，
∴
|
| DM |
|
| EM |
（2）连接AD，EM，DE，如图2所示，
∵BD为圆O的直径，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，CE=2，DC=2CM=2
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根据勾股定理得：DE=
| DC2-CE2 |
| 5 |
∵∠DEC=∠BMC=90°，∠C=∠C，
∵△DEC∽△BMC，
∴
| DE |
| EC |
| BM |
| MC |
2
| ||||
| 2 |
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∵AB∥DC，
∴∠BAD=∠ADM=90°，
∵∠BMD=90°，
∴四边形ABMD为矩形，
∴AB=DM，
∴
|
| AB |
|
| DM |
∵
|
| DM |
|
| EM |
∴
|
| AB |
|
| EM |
∴
|
| AB |
|
| EB |
|
| EM |
|
| EB |
|
| AE |
|
| BM |
∴AE=BM=
| 30 |
点评：此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，弦、弧及圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
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