题目内容

如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂线AE分别与BD及BC的延长线交于点E，F，且CF：CB=1：2．
（1）求ED：EB的值；
（2）设DB=x，AF=y，求y关于x的函数关系式．

解：（1）∵CF：CB=1：2，
∴BC：BF=2：3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠ADB=∠DBF，∠BFA=∠DAE，
∴△ADE∽△FBE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（2）由（1）△ADE∽△BFE， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
可设DE= $\text{[math]}$ x，BE= $\text{[math]}$ x，EF= $\text{[math]}$ y，
由射影定理可求出AB²=BE•BD，
即AB²= $\text{[math]}$ x•x= $\text{[math]}$ x²，BF²=EF•AF= $\text{[math]}$ y²，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，AF²=AB²+BF²，
即y²= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ y²，2y=3x．
分析：（1）先根据CF：CB=1：2求出BC：BF的值，再根据△ADE∽△BFE，其对应边成比例解答即可．
（2）根据（1）求出的△ADE∽△BFE， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可求出AB及BF的长，再根据勾股定理即可求出x、y的函数关系式．
点评：此题比较复杂，解答此特的关键是熟练掌握相似三角形、矩形、直角三角形的性质等相关概念．