Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，那么下列选项正确的是（ ）

①BP=BF；②如图1，若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD=25，且AE＜DE时，则DE=16；④在③的条件下，可得sin∠PCB=；⑤当BP=9时，BEEF=108.

A.①②③④B.①②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

易证BE∥PG可得∠FPG=∠PFB，再由折叠的性质得∠FPB=∠FPG，所以∠FPB=∠PFB，根据等边对等角即可判断①；由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD，用SAS即可判定全等，从而判断②；证明△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求出DE，从而判断③；证明△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得到sin∠PCB的值，从而判断④；证明△GEF∽△EAB，利用对应边成比例可得出结论，从而判断⑤.

①∵四边形ABCD为矩形，顶点B的对应点是G，

∴∠G=90°，即PG⊥CG，

∵BE⊥CG

∴BE∥PG

∴∠FPG=∠PFB

由折叠的性质可得∠FPB=∠FPG，

∴∠FPB=∠PFB

∴BP=BF，故①正确；

②∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=DC

又∵点E是AD的中点，

∴AE=DE

在△AEB和△DEC中，

∴△AEB≌△DEC（SAS），故②正确；

③当AD=25时，

∵∠BEC=90°，

∴∠AEB+∠CED=90°，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠CED=∠ABE，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，即，

解得AE=9或16，

∵AE＜DE，

∴AE=9，DE=16，故③正确；

④在Rt△ABE中，

在Rt△CDE中，

由①可知BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP

∴

设BP=BF=PG=a，则EF=BE-BF=15-a，

由折叠性质可得CG=BC=25，

∴，解得，

在Rt△PBC中，

∴sin∠PCB=，故④错误.

⑤如图，连接FG，

∵∠GEF=∠PGC=90°，
∴∠GEF+∠PGC=180°，
∴BF∥PG
∵BF=PG，
∴四边形BPGF是菱形，
∴BP∥GF，GF=BP=9
∴∠GFE=∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴
∴BEEF=ABGF=12×9=108，故⑤正确；

①②③⑤正确，故选C.