如图8中图①.两个等边△ABD.△CBD的边长均为1.将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置得到图②.则阴影部分的周长为题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图8中图①，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向
右平移到△A′B′D′的位置得到图②，则阴影部分的周长为_________

2解析:
略

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请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及

的值．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及

的值；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，

原问题中的其他条件不变，请你直接写出

的值（用含α的式子表示）．

21、如图△PAB中，PA=PB，C、D是直线AB上两点，连接PC、PD．
（1）请添加一个条件：

，使图中存在两个三角形全等．
（2）证明（1）的结论．

（2013•鼓楼区一模）问题提出：
规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．
我们借助学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法对“全等四边形的判定”进行探究．
初步思考：
在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易知道两个四边形全等至少需要5个条件．
深入探究：
小莉所在学习小组进行了研究，她们认为5个条件可分为以下四种类型：
Ⅰ一条边和四个角对应相等；Ⅱ二条边和三个角对应相等；
Ⅲ三条边和二个角对应相等；Ⅳ四条边和一个角对应相等．
（1）小明认为“Ⅰ一条边和四个角对应相等”的两个四边形不一定全等，请你举例说明．
（2）小红认为“Ⅳ四条边和一个角对应相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．
已知：如图，

四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．

四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．

四边形ABCD≌四边形A₁B₁C₁D₁

四边形ABCD≌四边形A₁B₁C₁D₁

（3）小刚认为还可以对“Ⅱ二条边和三个角对应相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁为例，分为以下几类：
①AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁；
②AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠D=∠D₁；
③AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
其中能判定四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁全等的是

（填序号），概括可得“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是

有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等

有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等

．
（4）小亮经过思考认为也可以对“Ⅲ三条边和二个角对应相等”进一步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个全等四边形的判定方法．

探究问题
（1）方法感悟：
一班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
方案（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；感悟解题方法，并完成下列填空：
解：在如图所示的两个三角形△DEC和△ABC中：DC=AC，∠

（对顶角相等），EC=BC，∴△DEC≌△ABC

，∴DE=AB（全等三角形对应边相等），即DE的距离即为AB的长．
（2）方法迁移：
方案（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．请你说明理由．
（3）问题拓展：
方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是

作∠ABC=∠EDC=90°

作∠ABC=∠EDC=90°

；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？

阅读：
如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′．那么△ABC≌△A′B′C′．

说明过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使∠A的顶点与∠A′的顶点重合；由于∠A=∠A′，因此可以使射线AB、AC分别落在射线A′B′、A′C′上．因为AB=A′B′，AC=A′C′，所以点B、C分别与点B′、C′重合，这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
于是，得全等三角形判定方法1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为S．A．S）．
请完成下面问题的填空：
如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=A′B′∠B=∠B′．
那么△ABC≌△A′B′C′．

说明过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，因为AB=A′B′，可以使

重合，并使点C与C′在AB（A′B′）的同一侧，这时点A与点A′重合，点

重合．由于∠A=∠A′，因此射线

叠合；由于
∠B=∠B′，因此射线

叠合．于是点C（射线AC与BC的交点）与点C（射线A′C′与B′C′的交点）重合．这样

△A′B′C′

△A′B′C′

重合，即△ABC≌△A′B′C′．
于是，得全等三角形判定方法2：在两个三角形中，

如果两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为ASA）

如果两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为ASA）