Question

如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，P，Q分别是边AB，AC上的点．
（1）如图1，若∠MPB=∠MQC=90°，证明：MP=MQ；
（2）如图2，若∠MPB+∠MQC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由AB=AC，得出∠B=∠C，再根据AAS证明△MBP≌△MQC，即可得到MP=MQ；
（2）过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，连接AM．先根据等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质得出MF=ME，再根据AAS证明，△MEP≌△MFQ，即可得出MQ=MP．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△MBP与△MQC中，

∠B=∠C ∠MPB=∠MQC=90° MB=MC

，
∴△MBP≌△MQC，
∴MP=MQ．

（2）解：若∠MPB+∠MQC=180°，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，连接AM，
∵AB=AC，M是中点，
∴AM平分∠BAC，
又ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴MF=ME，
∵∠MPB+∠MQC=180°，∠MQC+∠MQA=180°，
∴∠MPB=∠MQA，
在△MEP与△MFQ中，

∠MEP=∠MFQ=90° ∠MPE=∠MQF ME=MF

，
∴△MEP≌△MFQ，
∴MQ=MP．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，补角的性质，难度适中，关键是正确作出辅助线．