Question

如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B′为CD边上的点，B′C=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B′处，点A的对应点为A′，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．
（1）求BN的长；
（2）求四边形ABNM的面积．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质得出AM=A′M，BN=B′N，BN=B′N=x，则CN=9-x，再利用勾股定理求出即可；
（2）首先求出NC的长，即可得出BN，利用角相等三角函数值就相等，即可求出AM，即可得出答案．

解答：解：如图．
（1）由题意，点A与点A′，
点B与点B′分别关于直线MN对称，
∴AM=A′M，BN=B′N．
设BN=B′N=x，则CN=9-x．
∵正方形ABCD，
∴∠C=90°．
∴CN²+B′C²=B′N²．
∵B′C=3，
∴（9-x）²+3²=x²．
解得x=5．
∴BN=5．

（2）解：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，∠A=90°．
∵点M，N分别在AD，BC边上，
∴四边形ABNM是直角梯形．
∵BN=B′N=5，BC=9，
∴NC=4．
∴sin∠1=

4

5

，tan∠1=

4

3

．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．
∴sin∠3=sin∠1=

4

5

，
在Rt△DB′P中，∵∠D=90°，
DB′=DC-B′C=6，sin∠3=

DB′

PB′

=

4

5

，
∴PB′=

15

2

，
∵A′B′=AB=9，
∴A′P=A′B′-PB′=

3

2

，
∵∠4=∠3，
∴tan∠4=tan∠3=

4

3

，
在Rt△A′MP中，∵∠A′=∠A=90°，
A′P=

3

2

，tan∠4=

A′M

A′P

=

4

3

，
∴A'M=2．
∴S_梯形ABNM=

1

2

（AM+BN）×AB=

1

2

×（2+5）×9=

63

2

．

点评：此题主要考查了折叠问题与解直角三角形以及正方形的知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，以及解直角三角形时相等的角三角函数值相等．