Question

【题目】已知，在中，，于点，分别交、于点、点，连接，若.

（1）若，求的面积.

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）72；（2）见解析．

【解析】

（1）由得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，则∠BAG=∠ACE，由得∠ACE+∠EAC=90°，则∠BAG+∠EAC=∠BAE =90°，由，可证得∠AFB=∠ACE，又因为BF=BC，可得BF=AC，可证△ABF≌△EAC，则AB=AE，的面积=AECD=，在Rt△ABE中，由BE=12即可求得；

（2）由（1）知：△ABF≌△EAC，得△EAD≌△EAC，设CE=x，则AB=CD=2x，BF=AD=x，根据面积法计算AG的长，作高线GH，利用三角函数分别得EH和GH的长，利用勾股定理计算EG的长，代入结论化简可得结论．

（1）解：∵，

∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，

∴∠BAG=∠ACE，

∵，

∴∠ACE+∠EAC=90°，

∴∠BAG+∠EAC=∠BAE =90°，

∵，，

∴∠AFB=∠ACE，∠AEC =∠BAE =90°，

∵BF=BC，，

∴BF=AC，

∴△ABF≌△EAC，

∴AB=AE，

∴的面积=AECD=，

在Rt△ABE中， BE=12

∴2= =72，

∴的面积=72；

（2）证明：由（1）知：△ABF≌△EAC，
∵BF=BC=AD，
∴△EAD≌△EAC，
∴AF=DE=CE，AE=AB=2CE，
设CE=x，则AB=CD=2x，BF=AD=x，，
S△ABF=BFAG=AFAB，
xAG=x2x，
∴AG=x，
∴CG=x-x=x，
过G作GH⊥CD于H，
sin∠ECG== ，
∴GH=x，
cos∠ECG== ，
CH=x，
∴EH=x-x=，
∴EG== = ，
∴= = ，
∴GE=AG．

故答案为：（1）72；（2）见解析．