Question

如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，ts时△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积记为Scm²．
（1）当t=3s时，求S的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）写出t为何值时，重叠部分的面积S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）当t=3秒时，QB=3，BR=QR-QB=5．根据Rt△RBM∽Rt△RQP中的成比例线段

BR

QR

=

BM

QP

，可求得BM=

5

2

．所以S=

1

2

（QP+BM）•QB=

39

4

（平方厘米）．
（2）同（1），当0≤t≤4时，如图1所示，则QB=t，BR=8-t所以BM=

8-t

2

即S=-

1

4

t²+4t；当4＜t≤8时，QB=t，BR=8-t，QA=t-4，AR=AB+BR=4+（8-t）=12-t，所以AM=

12-t

2

，BN=

8-t

2

，即S=

1

2

AM•AR=-

1

4

t²+4t（8＜t≤12）；
（3）当t=4时，重叠部分面积S有最大值，并且S的最大值为12平方厘米．

解答：解：
（1）当t=3秒时，如图1所示，设PR与BC交于点M，则QB=3，BR=QR-QB=5
∵Rt△RBM∽Rt△RQP
∴

BR

QR

=

BM

QP

，即

5

8

=

BM

4

∴BM=

5

2

∴S=

1

2

（QP+BM）•QB=

1

2

×（4+

5

2

）×3=

39

4

（平方厘米）．

（2）当0≤t≤4时，如图1所示，则QB=t，BR=8-t
由（1）知

BR

QR

=

BM

QP

，即

8-t

8

=

BM

4

．
∴BM=

8-t

2

．
∴S=

1

2

(QP+BM)•QB=

1

2

×(4+

8-t

2

)•t=-

1

4

t2+4t
当4＜t≤8时，如图2所示，设PR分别与DA、CB交于点M、N，则
QB=t，BR=8-t，QA=t-4，AR=AB+BR=4+（8-t）=12-t
∵Rt△RAM∽Rt△RQP
∴

AM

QP

=

AR

QR

，即

AM

4

=

12-t

8

，
∴AM=

12-t

2

．
∵Rt△RBN∽Rt△RQP，
∴

BN

QP

=

BR

QR

，即

BN

4

=

8-t

8

，
∴BN=

8-t

2

∴S=

1

2

(AM+BN)•AB=

1

2

(

12-t

2

+

8-t

2

)×4=20-2t
当8＜t≤12时，如图3所示，设PR交DA于点M，则QB=t，RB=t-8，AR=4-RB=12-t．
∵Rt△RAM∽Rt△RQP
∴

AR

QR

=

AM

QP

，即

12-t

8

=

AM

4

∴AM=

12-t

2

∴S=

1

2

AM•AR=

1

2

×

12-t

2

×(12-t)=

1

4

(12-t)2=

1

4

t2-6t+36
综上所述，S=

- 1 4 t2+4t(0≤t≤4) 20-2t(4＜t≤8) 1 4 t2-6t+36(8＜t≤12)

（3）当t=4时PQ与DA重合，再向左移动，则重叠部分梯形的面积减小．故t=4s时，重叠部分面积S有最大值，并且S的最大值为12平方厘米．

点评：主要考查了正方形和二次函数的综合题．要掌握数形结合的方法，会利用二次函数的最值找到几何图形着的动点问题的最值．注意分段函数的表示方法即求算方法．