题目内容

阅读下面的材料
例1：已知函数y=3x-1
解：由y=3x-1，可得x=

y+1

3

，所以原函数y=3x-1的反函数是y=

x+1

3

例2：已知函数y=

x+3

x-1

（x≠1）
解：由y=

2x+3

x-1

，可得x=

y+3

y-2

，所以原函数y=

2x+3

x-1

的反函数是y=

x+3

x-2

（x≠2）
在以上两例中，在相应的条件下，一个原函数有反函数时，原函数中自变量x的取值范围就是它的反函数中y的函数值取值范围，原函数中函数值y的取值范围就是它的反函数的自变量x取值范围，通过以上内容完成下面任务：
（1）求函数y=-2x+3的反函数．
（2）函数y=

x-2

x+1

的反函数的函数值的取值范围为

B

B

A．y≠1 B．y≠-1 C．y≠-2 D．y≠2．
（3）下列函数中反函数是它本身的是

①④⑤

①④⑤

（填序号即可）
①y=x ②y=x+1 ③y=-x+1 ④y=

1

x

⑤y=

x+1

x-1

(x≠1)．

分析：（1）根据题意，先用y表示出x，然后即可得到反函数；
（2）根据题目信息，求出原函数的自变量的取值范围即为反函数的函数值的范围；
（3）根据反函数的定义分别求出各小题的反函数，即可得解．

解答：解：（1）由y=-2x+3得，x=

3-y

2

，
所以，函数y=-2x+3的反函数是y=

3-x

2

；

（2）求函数y=

x-2

x+1

的自变量的取值范围，
x+1≠0，
解得x≠-1，
所以，函数y=

x-2

x+1

的反函数的函数值的取值范围为y≠-1；

（3）①y=x的反函数为y=x；
②y=x+1的反函数为y=x-1；
③y=-x+1的反函数为y=1-x；
④y=

1

x

的反函数为y=

1

x

；
⑤y=

x+1

x-1

（x≠1）的反函数为y=

x+1

x-1

；
所以，反函数是它本身的有①④⑤．
故答案为：（2）B，（3）①④⑤．

点评：本题考查了函数关系式，函数自变量的取值范围，读懂题目信息，理解反函数的定义是解题的关键．

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表示成部分分式．
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，
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，
依据题意得，

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将分式

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（1）求函数y=-2x+3的反函数．
（2）函数 $数学公式$ 的反函数的函数值的取值范围为
A．y≠1 B．y≠-1 C．y≠-2 D．y≠2．
（3）下列函数中反函数是它本身的是（填序号即可）
①y=x ②y=x+1 ③y=-x+1 ④ $数学公式$ ⑤ $数学公式$ ．

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解：由y=3x-1，可得

，所以原函数y=3x-1的反函数是

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（x≠1）
解：由

，所以原函数

的反函数是

（x≠2）
在以上两例中，在相应的条件下，一个原函数有反函数时，原函数中自变量x的取值范围就是它的反函数中y的函数值取值范围，原函数中函数值y的取值范围就是它的反函数的自变量x取值范围，通过以上内容完成下面任务：
（1）求函数y=-2x+3的反函数．
（2）函数

的反函数的函数值的取值范围为______
A．y≠1 B．y≠-1 C．y≠-2 D．y≠2．
（3）下列函数中反函数是它本身的是______（填序号即可）
①y=x ②y=x+1 ③y=-x+1 ④

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[例]将分式

表示成部分分式．
解：

，
将等式右边通分，得：

，
依据题意得，

请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
将分式

表示成部分分式．