Question

如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面五个结论：
①DE=1；②△CDE∽△CAB；③△CDE的面积与四边形ABED的面积之比为1：3；④梯形ABED的中位线长为

3

2

；⑤DG：GB=1：2
其中正确的有（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：根据三角形中位线定理可得DE=

1

2

AB，DE∥AB，进而可得①②的正误；再根据相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方可判断出③的正误；再根据梯形的中位线定理可计算出④的正误，然后再证明△DEG∽△BAG，再根据相似三角形的性质可判断出⑤．

解答：解：∵DE是△ACB的中位线，
∴DE=

1

2

AB，DE∥AB，
∵等边三角形ABC的边长为2，
∴AB=2，
∴DE=1，
故①正确；
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
故②正确；
∵△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

1

2

，
∴

S△CDE

S△CAB

=

1

4

，
∴△CDE的面积与四边形ABED的面积之比为1：3，
故③正确；
∵DE=1，AB=2，
∴

1

2

（AB+DE）=

3

2

，
故④正确；
∵DE∥AB，
∴△DEG∽△BAG，
∴

DG

BG

=

DE

AB

=

1

2

，
故⑤正确；
故选：D．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及三角形和梯形的中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．