Question

【题目】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；

（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得到∠ACD=40°，证明△BCD∽△BAC，即可得到结论；

（2）根据完美分割线的定义，以及△ACD是以CD为底边的等腰三角形，得到△BCD∽△BAC，从而，设BD=x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．

（1）∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形．

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形．

∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线；

（2）∵CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，∴△BCD∽△BAC，∴．

∵AC=AD=2，BC，设BD=x，则AB=4+x，∴，解得：x=﹣1±．

∵x＞0，∴BD=x=﹣1．

∵△BCD∽△BAC，∴．

∵AC=2，BC，BD=﹣1，∴CD．