Question

如图，矩形ABCD的边长AB=4，BC=8，点E在BC上由B向C运动，点F在CD上以每秒1个单位的速度由C向D运动，已知E、F两点同时运动，且点E的速度是点F的2倍．设运动时间为t，解答下列问题：
（1）设△AEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当线段EF与BD平行时，试求△AEF的面积，并确定点E、F的位置；
（3）是否存在t值，使△AEF的面积为△ABE与△ECF的面积和的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由运动的时间t得到CF=t，BE=2t， 又AB=4，BC=8，
则△AEF的面积为S=S_矩形ABCD﹣S_△ABE﹣S_△EFC﹣S_△ADF
=4×8﹣×4×2t﹣×（8﹣2t）×t﹣×8×（4﹣t）
=t²﹣4t+16；
（2）若EF∥BD，∴△ECF∽△BCD，
∴=，即=，解得：t=2，
此时E为BC的中点，F为DC的中点，
此时△AEF的面积S=t²﹣4t+16=4﹣8+16=12；
（3）存在，理由为：
∵S_△ABE=AB·BE=×4×2t=4t，
S_△EFC=EC·CF=×（8﹣2t）×t=4t﹣t2，
根据题意得S=3（S_△ABE+S_△EFC），即t²﹣4t+16=3（4t+4t﹣t²）
解得：t=（舍去），t=．
∴t=秒时，△AEF的面积为△ABE与△ECF的面积和的3倍．