Question

在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCD为菱形，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是（-6，0），AB=10．
（1）求点C的坐标：
（2）连接BD，点P是线段CD上一动点（点P不与C、D两点重合），过点P作PE∥BC交BD于点E，过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q．设PC的长为x，PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AQ、AE，当x为何值时，S_△BQE+S_△AQE=

4

5

S_△DEP？并判断此时以点P为圆心，以5为半径的⊙P与直线BC的位置关系，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点C作CN⊥x轴，垂足为N，求得CN、ON的长，即可得出坐标；
（2）过点P作PH⊥BC，垂足为H，易证△PHC∽△DOA，可得CH=

3

5

x，BH=10-

3

5

x；然后证明四边形PQBH为矩形，则PQ=BH，即可求得；
（3）过点P作PH′⊥BC，垂足为H′，过点D作DG⊥PQ于点G，过点A作AF⊥PQ交PQ的延长线于点F，用x分别表示出EQ、BQ、AF的值和PE、DG的值，然后，根据S_△BOE+S_△AQE=

4

5

S_△DEP，可求出x的值，最后根据PH′的值与x的值比较，即可得出其位置关系；

解答：解：（1）如图1，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，则四边形DONC为矩形，
∴ON=CD
∵四边形ABCD是菱形，AB=10，
∴AB=BC=CD=AD=10，
∴ON=10，
∵A（-6，0），
∴OA=6，OD=

AD2-AO2

=

102-62

=8，
∴点C的坐标为（10，8）；

（2）如图2，过点P作PH⊥BC，垂足为H，则∠PHC=∠AOD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PCB=∠DAO，
∴△PHC∽△DOA，
∴

CH

AO

=

PH

DO

=

PC

AD

，
∴

CH

6

=

PH

8

=

x

10

，
∴PH=

4

5

x，CH=

3

5

x，
∴BH=10-

3

5

x，
∵PE∥BC，BQ⊥PQ，
∴∠PQB=∠QBC=∠PHB=90°，
∴四边形PQBH为矩形，
∴PQ=BH=10-

3

5

x，
∴y=10-

3

5

x（0＜x＜10）；

（3）如图3，过点P作PH′⊥BC，垂足为H′，则四边形PQBH′是矩形，
∴BQ=PH′=

4

5

x，
∵PE∥BC，
∴∠PED=∠CBD，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠CDB=∠PED，
∴PE=PD=10-x，QE=PQ-PE=

2

5

x，
过点D作DG⊥PQ于点G，过点A作AF⊥PQ交PQ的延长线于点F，
∴∠DGF=∠AFG=90°，
∵PQ∥BC，
∴PQ∥AD，
∴∠ADG=90°，
∴四边形AFGD为矩形，
∴AF=DG，
∵PQ∥BC，
∴∠DPG=∠C，
∵∠DGP=∠PH′C=90°，
∴△DGP∽△PH′C，
∴

DP

PC

=

DG

PH′

，
∴AF=DG=

4

5

（10-x）=8-

4

5

x，
∵S_△BQE+S_△AQE=

1

2

EQ×BQ+

1

2

EQ×AF，
=

1

2

×

2

5

x×

4

5

x+

1

2

×

2

5

x×（8-

4

5

x）=

8

5

x，
S_△DEP=

1

2

PE×DG=

1

2

（10-x）×（8-

4

5

x），
=

2

5

x²-8x+40，
∵S_△BQE+S_△AQE=

4

5

S_△DEP，
∴

8

5

x=

4

5

（

2

5

x²-8x+40），
整理得，x²-25x+100=0，
∴x₁=5，x₂=20，
∵0＜x＜10，
∴x₂=20不符合题意，舍去，
∴x₁=5，
∴x=5时，S_△BQE+S_△AQE=

4

5

S_△DEP，
∵PH′=

4

5

x=4＜5，
∴⊙P与直线BC相交．

点评：本题考查了菱形、矩形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理的运用及直线与圆的位置关系，本题考查知识较多，属综合性题目，考查了学生对知识的掌握程度及熟练运用所学知识解答题目的能力．