Question

如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是 _________ ，请说明理由；
（2）如图2，已知D（，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？

Answer 1

解：（1）设AC的中点为E，连接OE并延长至B，使得BE=OE；连接AC，AB，则△ABC为所求作的△AOC的中心对称图形．
∵A（2，0），C（0，2），
∴OA=OC，
∵△ABC是△AOC的中心对称图形，
∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=AB=BC=OC，
∴四边形OABC是正方形；
（2）设经过点A、C、D的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），C（0，2），D（，0），
∴，解得a=-2，b=3，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=-2x²+3x+2；由（1）知，四边形OABC为正方形，
∴B（2，2），
∴直线BC的解析式为y=2，
令y=-2x²+3x+2=2，解得x₁=0，x₂=，
∴点E的坐标为（，2）．
（3）在点P的运动过程中，有三种情形使得△AON为等腰三角形，
如图②所示：
①△AON₁．此时点P与点B重合，点N₁是正方形OABC对角线的交点，且△AON₁为等腰直角三角形，
则此时点P运动路程为：x=AB=2；
②△AON₂．此时点P位于B﹣C段上．
∵正方形OABC，OA=2，
∴AC=2，
∵AN₂=OA=2，
∴CN₂=AC﹣AN₂=2﹣2．
∵AN₂=OA，
∴∠AON₂=∠AN₂O，
∵BC∥OA，
∴∠AON₂=∠CP₂N₂，又∠AN₂O=∠CN₂P₂，
∴∠CN₂P₂=∠CP₂N₂，
∴CP₂=CN₂=2﹣2．
此时点P运动的路程为：x=AB+BC﹣CP₂=2+2﹣（2﹣2）=6﹣2；
③△AON₃．此时点P到达终点C，P、C、N三点重合，△AON₃为等腰直角三角形，
此时点P运动的路程为：x=AB+BC=2+2=4．
综上所述，当x=2，x=6﹣2或x=4时，△AON为等腰三角形．