Question

如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S₁，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S₂，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S_n．
（1）求出S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）总结出S_n与S_n-1的关系，并猜想出S_n与n的关系．

Answer 1

分析：（1）根据正方形边长相等和等腰直角三角形中腰长为斜边长的

2

2

求解；
（2）观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可．

解答：解：下一个正方形面积为上一个正方形面积的

1

2

，下一个等腰直角三角形面积为上一个等腰直角三角形面积的

1

2

，
（1）S₁=1×1+

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

4

，
∴S₂=

1

2

+

1

2

×

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

8

，
S₃=

5

16

，
S₄=

5

32

．

（2）根据（1）的求解，总结规律：S_n=

1

2

S_n-1，
可以发现：
第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（

2

2

）¹=

2

2

，
第3个正方形的边长为（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n个正方形的边长为（

2

2

）^（n-1）
∴第n个正方形的面积=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
则第n个等腰直角三角形的面积为：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故S_n与n的关系为：S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

．

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（

2

2

）^n-1是解题的关键．