Question

如图，?ABCD中，AE、CF分别平分∠DAC、∠BCA，则四边形AFCE是平行四边形吗？为什么？

Answer 1

分析：设AC、BD相交于点O．根据平行四边形的性质，可得AD∥BC，根据平行线的性质和角平分线定义，可得∠CAE=∠ACF，则AE∥CF．根据平行四边形的对角线互相平分，结合平行四边形所得的内错角相等，可以证明△AOE≌△COF，则AE=CF，从而证明该四边形是平行四边形．

解答：解：四边形AFCE是平行四边形，理由是：
设AC、BD相交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∵AE、CF分别平分∠DAC、∠BCA，
∴∠EAO=

1

2

∠DAC，∠FCO=

1

2

∠BCA
∴∠EAO=∠FCO，
∴AE∥CF．
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF．
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．

点评：此题综合运用了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．