Question

已知直线l：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S₁；当n=2时，直线l₂：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为S₂；…依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．则S₁=

 

．S₁+S₂+S₃…+S_n=

 

．

Answer 1

分析：根据直线l：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不为零的自然数），分别求出当n=1、n=2、n=3…时所形成的面积，然后总结规律，求出结果．

解答：解：直线y=-

n+1

n

x+

1

n

，组成的三角形是以

1

n+1

为底边长，以

1

n

长为高的直角三角形，
那么其面积为Sn=

1

2

•

1

n+1

•

1

n

=

1

2n2+2n

；
因此当n=1时，S₁=

1

2+2

=

1

4

；
S₁+S₂+S₃+…+Sn
=

1

4

+

1

12

+

1

24

+…+

1

2n(n+1)

=

1

2

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

），
=

1

2

×（1-

1

n+1

），
=

n

2n+2

．

点评：本题的关键是通过直线l的解析式得出直线与坐标轴组成的三角形的面积，求前n项的面积和时，要注意式子中的规律，将各项逐一拆分即可化简求解．