Question

如图，半径为2

5

的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．
（1）求证：PA•PB=PC•PD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．

Answer 1

分析：（1）连接AD，BC，易证Rt△APD∽Rt△CPB，根据相似三角形的性质，可以证得．
（2）先求出OM，ON，进而证得四边形OMPN是矩形，所以OP=PM，利用勾股定理可以求出OP．

解答：解：（1）连接AD，BC，
∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴

AP

CP

=

PD

PB

，
∴PA•PB=PC•PD；

（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
由垂径定理得：OM²=（2

5

）²-4²=4，ON²=（2

5

）²-3²=11，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∴OP=

OM2+ON2

=

15

．

点评：本题给出了圆中的两条相交弦，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r²=d²+（

a

2

）²成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．