Question

【题目】已知：等边中．

（1）如图1，点是的中点，点在边上，满足，求的值．

（2）如图2，点在边上（为非中点，不与、重合），点在的延长线上且，求证：．

（3）如图3，点为边的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，满足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）先证明，与均为直角三角形，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN，AB=2BM，最后转化结论可得出BN与AN之间的数量关系即得；

（2）过点M作ME∥BC交AC于E，先证明AM=ME，再证明与全等，最后转化边即得；

（3）过点P作PM∥BC交AB于M，先证明M是AB的中点，再证明与全等，最后转化边即得．

（1）∵为等边三角形，点是的中点

∴AM平分∠BAC，，

∴，

∵

∴，

∴

∴

∴在中，

在中，

∴

∴即．

（2）如下图：

过点M作ME∥BC交AC于E

∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB

∵是等边三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=

∴，

∴，

∴AM=ME

∵

∴∠CME=∠MNB，MN=MC

∴在与中

∴

∴

∴

（3）如下图：

过点P作PM∥BC交AB于M

∴

∵是等边三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=，

∴

∴，，

∴是等边三角形，

∴

∵P点是AC的中点

∴

∴

在与中

∴

∴

∴

∴．