Question

【题目】如图，抛物线过A（1,0）、B（－1，－1）、C（3，m）三点。

（1）求抛物线的解析式及m的值；

（2）判断与AC的位置关系，并证明你的结论；

（3）在抛物线上是否存在点P，当PHx轴于点H时，以P、H、A为顶点的三角形与　相似？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为，m的值为-4；

（2）⊥AC ，证明见解析；

（3）存在点P共3个，分别为P1()，P2()，P3(3,-4)或P4().

【解析】试题分析：（1）待定系数法求解析式；

（2）利用勾股定理求得三边长，由勾股定理逆定理可探究出结论；

（3）利用三角形相似的判定转化为求方程的解而得解.

试题解析：（1）由题可知解得

；

（2）⊥AC，证明如下：

，

⊥AC .

（3）设P（），则PH=， ，

时， ∽;

∴，即，

解得或x=,

当时，P与A、B重合

，此时P()或P()；

时, ∽;

∴即

解得 ，

当x=时，与A重合

x=3 或,此时点P为P(3,-4)或P()

所以存在点P共3个，分别为P1()，P2()，P3(3,-4)或P4().