Question

【题目】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为______；②点的坐标为______（直接写结果）

（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．

（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，请直接写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据勾股定理可得OA长，由对应边相等可得B点坐标；

（2）通过证明得出点B坐标，用待定系数法求直线的函数表达式；

（3）设点Q坐标为，可通过证三角形全等的性质可得a的值，由Q点坐标可间接求出P点坐标.

解：（1）如图1，作轴于F，轴于E.

由A点坐标可知

在中，根据勾股定理可得；

为等腰直角三角形

轴于F，轴于E

又

所以B点坐标为：

（2）如图，过点作轴．

为等腰直角三角形

轴

又

∴，

∴，

∴．

设直线的表达式为

将和代入，得

，

解得，

∴直线的函数表达式．

（3）如图3，分两种情况，点Q可在x轴下方和点Q在x轴上方

设点Q坐标为，点P坐标为

当点Q在x轴下方时，连接，过点作 交其延长线于M，则M点坐标为

为等腰直角三角形

又

由题意得

，

解得 ，所以

当点Q在x轴上方时，连接，过点作 交其延长线于N，则N点坐标为

同理可得,

由题意得

，

解得 ，所以

综上的坐标为：．