Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AB=2

2

，AC=2，那么

BD•DC

的值等于

2 6

3

．

Answer 1

分析：先利用勾股计算出BC=2

3

，再利用三角形面积计算出AD=

2 6

3

，然后利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，则可根据三角形相似的判定方法得到Rt△ABD∽Rt△CAD，再利用相似比计算即可．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=2

2

，AC=2，
∴BC=

AB2+AC2

=2

3

，
∵AD⊥BC，
∴

1

2

AB•AC=

1

2

AD•BC，即2

2

×2=AD×2

3

，
∴AD=

2 6

3

，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
而∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴BD：AD=AD：CD，即AD²=BD•DC，
∴

BD•DC

=AD=

2 6

3

．
故答案为

2 6

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应相等的两三角形相似；两个三角形相似的对应角相等，对应边的比相等．也考查等腰三角形的判定与性质和旋转的性质．