Question

已知抛物线y=x2+mx-

3

4

m2(m＞0)与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若

1

OB

-

1

OA

=

2

3

（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）证明抛物线的对称轴＜0即可证明抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）根据题中已知条件求出m的值，进而求得抛物线的解析式；
（3）先设出C点坐标，根据的x₁与x₂关系求出m值，进而可求得△ABC的面积．

解答：（1）证明：∵m＞0，
∴x=-

b

2a

=-

m

2

＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；

（2）解：设抛物线与x轴交点为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-m＜0，x₁•x₂=-

3

4

m²＜0，
∴x₁与x₂异号，
又∵

1

OB

-

1

OA

=

2

3

＞0，
∴OA＞OB，
由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x₁＜0，x₂＞0，
∴OA=|x₁|=-x₁ ，
OB=x₂，
代入

1

OB

 -

1

OA

=

2

3

得：

1

x2

-

1

-x1

 =

1

x2

+

1

x1

=

2

3

，

x1+x2

x1•x2

=

2

3

，
从而

-m

- 3 4 m2

=

2

3

，
解得m=2，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3；

（3）解：当x=0时，y=-

3

4

m²
∴点C（0，-

3

4

m²），
∵△ABC是直角三角形，
∴AB²=AC²+BC²，
∴（x₁-x₂）²=x₁²+（-

3

4

m²）²+x₂²+（-

3

4

m²）²
∴-2x₁•x₂=

9

8

m⁴
∴-2（-

3

4

m²）=

9

8

m⁴，
解得m=

2

3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×AB•OC=

1

2

|x₁-x₂|•|-

3

4

m2|=

1

2

×2m×

3

4

m²=

2

3

3

．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形面积的求法等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．