Question

如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止；点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm²．
（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
（3）当1≤x≤2时，写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围； 并请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．

Answer 1

分析：（1）由题意知，AQ=x，AP=2x，根据三角形的面积计算公式，解答出即可；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，橡皮筋扫过的面积是正方形面积的一半，列式求出即可；
（3）当橡皮筋刚好触及钉子时，∠POQ=180°，求出停止时，∠POQ的度数，即可知变化范围；

解答：解：（1）由题意得，AQ=x，AP=2x，
∴y=

1

2

×x×2x=x²；

（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，橡皮筋扫过的面积是正方形面积的一半；
∵AQ=x，PB=2x-2，
∴

1

2

×（x+2x-2）×2=

1

2

×2×2，
解得，x=

4

3

；

（3）由题意可得，
当橡皮筋刚好触及钉子时，∠POQ=180°，
停止时，OP=

2

，OQ=

2

，PQ=2，
∴OP²+OQ²=PQ²，
∴∠POQ=90°；
∴90°≤∠POQ≤180°；
如图，
①当1≤x≤

4

3

时，y=3x-2；
②当

4

3

＜x≤2时，y=

3

2

x．

点评：本题考查了一次函数的综合应用和正方形的性质，（3）中要根据P、Q点的不同位置进行分类求解．