Question

如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴相交于点B(－2，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y=x²＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

Answer 1

解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，
得： 0+c=-4        ×4-2b+c=0   ，
解得： b=-1   c=-4  
∴抛物线的解析式：y=x²-x-4．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m）²-（x+m）-4+，
即：y= x²+（m-1）x+m²-m- ；
它的顶点坐标P：（1-m，-1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；
那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；
当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m= ；
当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；
∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜ ；
又∵m＞0， ∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜ ．
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，
即∠ONB=∠OMB；
如图，在△ABN、△AM₁B中， ∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B，得：AB²=AN﹒AM₁；
易得：AB₂=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM₁=20÷2=10，OM₁=AM₁-OA=10-4=6；
而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，
∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂-OA=6-4=2．
综上，AM的长为6或2．