Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．

（1）求证：∠ABD=2∠BDC；

（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；

（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；

（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB==26，由相似三角形的性质即可得到结论．

（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，

则∠CAB=∠BDC=α，

∵点C为弧ABD中点，∴=，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；

（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，

∵∠CAB=∠CDB，∴∠ACE=∠ADC，

∵∠CAE=∠ADC，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE；

（3）如图2，连接OC，∴∠COB=2∠CAB，

∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，∴∠COB=∠ABD，

∵∠OHC=∠ADB=90°，∴△OCH∽△ABD，∴，

∵OH=5，∴BD=10，∴AB==26，∴AO=13，∴AH=18，

∵△AHE∽△ADB，∴，即=，∴AE=，∴DE=．