Question

如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：首先设AD与C′D′交于点F，CD与A′D交于点E，由正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，易得四边形DED′F是正方形，又由正方形ABCD的边长为1，即可求得BD的长，继而求得OD、DE的长，则可求得y与x之间的函数关系式．

解答：解：如图，设AD与C′D′交于点F，CD与A′D交于点E，
∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，
∴四边形DED′F是正方形，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BD=

CD

sin45°

=

2

，
∵OB=x，
∴OD=BD-OB=

2

-x，
∴DE=

OD

sin45°

=

2

（

2

-x）=2-

2

x，
∴y=S_{正方形DED′F}=DE²=（2-

2

x）²．
∴y与x之间的函数关系式为：y=（2-

2

x）²．

点评：此题考查了中心对称的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．