Question

已知二次函数y=-

1

2

x2+x，（1）它的最大值为

1

2

；
（2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则m=

-4

，n=

0

．

Answer 1

分析：（1）利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可，进而得出最值；
（2）利用已知可得图象过（a，3a）点，进而得出a的值，即可得出m，n的值．

解答：解：（1）y=-

1

2

x2+x，
=-

1

2

（x²-2x），
=-

1

2

（x²-2x+1）+

1

2

，
=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，
∴即当x=1时y取得其最大值

1

2

．

（2）由已知可得图象过（a，3a）点，
∴3a=-

1

2

a²+a，
∴6a=-a²+2a，
a²+4a=a（a+4）=0，
于是得a=-4或a=0；
于是可取m=-4，n=0；
当m=-4时y=-

1

2

×16-4=-12，即有（m，3m）=（-4，-12）；
当n=0时，y=0，即有（n，3n）=（0，3×0）=（0，0）．
∴m=-4，n=0，
故答案为：-4，0．

点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数的性质，根据已知得出二次函数过点（a，3a），求出a的值是解题关键．