Question

（2012•金山区一模）已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，cosA=

2

3

，把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A’，点B落在点B’．若点A’在边AB上，则点B、B’的距离为

4

5

．

Answer 1

分析：过点C作CH⊥AB于H，利用解直角三角形的知识，分别求出AH、AC、BC的值，进而利用三线合一的性质得出AA'的值，然后利用旋转的性质可判定△ACA'∽△BCB'，继而利用相似三角形的对应边成比例的性质可得出BB'的值．

解答：解：过点C作CH⊥AB于H，

∵在RT△ABC中，∠C=90，cosA=

2

3

，
∴AC=ABcosA=6，BC=3

5

，
在RT△ACH中，AC=6，cosA=

2

3

，
∴AH=ACcosA=4，
由旋转的性质得，AC=A'C，BC=B'C，
∴△ACA'是等腰三角形，因此H也是AA'中点，
∴AA'=2AH=8，
又∵△BCB'和△ACA'都为等腰三角形，且顶角∠ACA'和∠BCB'都是旋转角，
∴∠ACA'=∠BCB'，
∴△ACA'∽△BCB'，
∴

AC

BC

=

AA′

BB′

，即

6

3 5

=

8

BB′

，
解得：BB'=4

5

．
故答案为：4

5

．

点评：此题考查了解直角三角形、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，难度较大，解答本题的关键是得出△ACA'∽△BCB'，有一定难度．