Question

已知：A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC是锐角，连接OB、OC，求证：∠BAC=

1

2

∠BOC．

Answer 1

分析：根据题意画出三种图形解答：（1）圆心在圆周角一边上，利用等腰三角形的性质；
（2）圆心在圆周角内部，利用（1）的结论；
（3）圆心在圆周角外部，利用（1）的结论．

解答：解：如图所示：（1）圆心在圆周角一边上．
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
又∵∠BOC=∠A+∠C，
∴∠BAc=

1

2

∠BOC．

（2）由（1）可得，∠BAD=

1

2

∠BOD，∠CAD=

1

2

∠COD，
所以∠BAD+∠CAD=

1

2

∠BOD+

1

2

∠COD=

1

2

（∠BOD+∠COD）=

1

2

∠BOC，
即∠BAC=

1

2

∠BOC．

（3）由（1）可得，∠BAD=

1

2

∠BOD，∠CAD=

1

2

∠COD，
所以∠CAD-∠BAD=

1

2

∠COD-

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COD-∠BOD）=

1

2

∠BOC．
即∠BAC=

1

2

∠BOC．

点评：本题考查了圆周角定理，解答此题的关键是分类讨论，并且会利用求出的结论解答后面的问题．