Question

如图，∠ACB=90゜，CA=CB，D为BC上一点，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N．求证：BM+CN=AN．

Answer 1

分析：首先根据已知得出∠ACN=∠BCE，进而证明△ACN≌△BCE（AAS），得出AN=BE，再得出四边形CNME是矩形，即可得出答案．

解答：证明：过C作CE⊥BM于E，
由题意可得出：∠CND=∠BMD，∠CDN=∠BDM，
∴∠NCD=∠MBD，
∵∠MBD+∠ECB=90°，∠ACN+∠BCN=90°，
∴∠ACN=∠BCE，
在△ACN和△BCE中

∠E=∠ANC ∠ECB=∠ACN BC=AC

，
∴△ACN≌△BCE（AAS），
∴AN=BE，
∵∠CNM=∠AME=∠E=90°，
∴四边形CNME是矩形，
∴CN=EM，
∴BM+CN=BE=AN．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题实质是间接地将CN补在BM后面的EM处是解题关键．