Question

如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m、n）是函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当S=

9

2

时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由正方形的面积，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出OA及AB的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值；
（2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形PMCF，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到mn的值，根据P及B的坐标，表示出PM与CM，利用矩形的面积公式表示出矩形PMCF的面积，将mn的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形ANPE，由P及B的坐标表示出AE及PE，利用矩形的面积公式表示出矩形ANPE的面积，将mn的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴OA=OC=AB=BC=3，
∴B（3，3），
又∵点B（3，3）在函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，
∴将B的坐标代入反比例函数解析式得：

k

3

=3，即k=9；

（2）分两种情况：
①当点P在点B的左侧时，矩形OEPF和正方形OABC不重合部分为矩形PFCM，
∵P（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=9，
∵PE=n，ME=BA=3，
∴PM=PE-ME=n-3，又CM=OE=m，
∴S=CM•PM=m（n-3）=mn-3m=9-3m=

9

2

，
解得：m=1.5，可得n=6，
∴点P的坐标为（1.5，6）；
②当点P在点B的右侧时，矩形OEPF和正方形OABC不重合部分为矩形ANPE，
∵P（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=9，
∵OE=PF=m，NF=AO=3，
∴AE=OE-OA=m-3，又PE=n，
∴S=AE•PE=n（m-3）=mn-3n=9-3n=

9

2

，
解得n=1.5，可得m=6，
∴点P的坐标为（6，1.5）．
综上，P的坐标为（1.5，6）或（6，1.5）．

点评：本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错．