Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点（不与点A、C重合）．过点P且垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．若AC=2，BD=1，设AP=x，S_△AMN=y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

（1）当0＜x≤1时，如图，
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，
∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴

AP

AO

=

MN

BD

，
即，

x

1

=

MN

1

，MN=x；
∴y=

1

2

AP×MN=

1

2

x²（0＜x≤1），
∵

1

2

＞0，
∴函数图象开口向上；

（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，

CP

OC

=

MN

BD

，
即

2-x

1

=

NM

1

，MN=2-x；
∴y=

1

2

AP×MN=

1

2

x×（2-x），
y=-

1

2

x²+x；
∵-

1

2

＜0，
∴函数图象开口向下；
综上答案A的图象大致符合．
故选：A．