Question

如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若，则BN的长是    ，的值等于    ；若（n≥2，且n为整数），则的值等于    （用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：求出CE，根据勾股定理求出BN、EN，证△DEQ∽△CNE，求出DQ、QE长，在Rt△MFQ中，根据勾股定理求出AM即可．
解答：解：∵沿MN折叠B和E重合，
∴BN=NE，
∵=，CD=2，
∴CE=1，
设BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=1²+（2-x）²
x=，
BN=NE=．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴==，
∴==，
DQ=，EQ=，
∵折叠A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
（2--AM）²=AM²+（2-）²，
AM=．

∵沿MN折叠B和E重合，
∴BN=NE，
∵=，CD=2，
∴CE=，
设BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=（）²+（2-x）²
x=，
BN=NE=．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴==，
∴==，
DQ=，EQ=，
∵折叠A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
（2--AM）²=AM²+（2-）²，
AM=，
∴=，
故答案为：，，．
点评：本题考查了折叠的性质，正方形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，用了方程思想．