Question

如图，抛物线y=-x²+4x-3与坐标轴交于A、B、C三点，将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于P点，求直线AP的解析式和P点坐标．

Answer 1

分析：点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．

解答：解：∵y=-x²+4x-3=-（x-1）（x-3），
∴A（1，0），B（3，0）．
令x=0，则y=-3，则C（0，-3）．
如图，设AE交y轴于点F；
易证得△FOA∽△FEC，有

FO

FE

=

OA

CE

=

1

3

，
设OF=x，则EF=3x，
所以FA=3x-1；
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
（3x-1）²=x²+1，
解得x=

3

4

；
即OF=

3

4

，F（0，

3

4

）；
求得直线AE为y=-

3

4

x+

3

4

，联立抛物线的解析式得：

y=- 3 4 x+ 3 4 y=-x2+4x-3

，
解得

x= 15 4 y=- 33 16

或

x=1 y=0

（不合题意，舍去）．
故点P（

15

4

，-

33

16

）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的坐标意义等知识．