Question

【题目】平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A ，与y 轴交于点B，直线 与x轴交于点C，与直线交于点P．

（1）当k=1 时，求点C的坐标；

（2）如图 1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线于点F，若DF=2DE，求k的值；

（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ 的延长线交直线于点R，若PR=PC，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（-2，0）（2）（3）（-，）

【解析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可求解；

（2）过点P作PG⊥DF于点G，易证△PDG≌△ADE，过点P作PH⊥CA于点H，可证点H是AC中点，则H的坐标即可求得，进而求得点P的坐标，再求得点K的值即可；

（3）Rt△PMC≌Rt△PQR，则RQ=MC，设NR=NC=a，则R（﹣a﹣2，a），代入y=﹣x+3，求得a的值，设P（m，n），根据P在直线l1上和RQ=MC即可列方程组求解．

（1）当k=1时，直线l2为y=x+2．

解方程组，

解得，

∴P（，）；

（2）当y=0时，kx+2k=0，

∵k≠0，

∴x=﹣2，

∴C（﹣2，0）则OC=2，

当y=0时，﹣x+3=0，

∴x=6，

∴A（6，0），OA=6，

过点P作PG⊥DF于点G，

在△PDG和△ADE中，

，

∴△PDG≌△ADE，

得DE=DG=DF，

∴PD=PF，

∴∠PFD=∠PDF

∵∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC=90°

∴∠PCA=∠PAC，

∴PC=PA

过点P作PH⊥CA于点H，

∴CH=CA=4，

∴OH=2，

当x=2时，y=﹣×2+3=2代入y=kx+2k，得k=；

（3）直角△PQR和直角△PMC中，

，

∴Rt△PMC≌Rt△PQR，

∴CM=RQ，

∴NR=NC，

设NR=NC=a，则R（﹣a﹣2，a），

代入y=﹣x+3，

得﹣（﹣a﹣2）+3=a，解得a=8，

设P（m，n），则，

解得，

∴P（，）．