Question

已知：抛物线y=x²-（m+1）x+m与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；
（2）点D在x轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；
（3）若m＜0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角），P是AB边的中点，Q是对角线AM上一点，若，QB+PQ=6，当菱形ABMN的面积最大时，求点A的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁、x₂是关于x的方程x²-（m+1）x+m=0的解．
解方程，得x=1或x=m．
（1）∵A在B的左侧，m＞1，
∴x₁=1，x₂=m．
∴AB=m-1．
抛物线与y轴交于C（0，m）点．
∴OC=m．
△ABC的面积S==．
解得m₁=4，m₂=-3（不合题意，舍去）．
∴抛物线解析式为y=x²-5x+4；

（2）∵点D在（1）中的抛物线上，
∴设D（t，t²-5t+4）（）．
∴F（t，0），DF=-t²+5t-4．
又抛物线对称轴是直线，DE与抛物线对称轴交点记为R（如图），
∴DR=，DE=5-2t．
设矩形DEGF的周长为L，则L=2（DF+DE）．
∴L=2（-t²+5t-4+5-2t）
=-2t²+6t+2
=．
∵，
∴当且仅当时，L有最大值．
当时，L_最大=．
∴矩形周长的最大值为．

（3）∵A在B的左侧，m＜0，
∴x₁=m，x₂=1．
∴AB=1-m．
如图，作NH⊥AB于H，连接QN．
在Rt△AHN中，=．
设AH=4k（k＞0），则AN=5k，NH=3k．
∴AP===，PH=AH-AP==，PN==．
∵菱形ABMN是轴对称图形，
∴QN=QB．
∴PQ+QN=PQ+QB=6．
∵PQ+QN≥PN（当且仅当P、Q、N三点共线时，等号成立）．
∴6≥，
解得k≤．
∵S_菱形ABMN=AB•NH=15k²≤48．
∴当菱形面积取得最大值48时，k=．
此时AB=5k=1-m=．
解得m=1-．
∴A点的坐标为（1-，0）．
分析：（1）由抛物线y=x²-（m+1）x+m与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），得出x²-（m+1）x+m=0的解，再利用m＞1，△ABC的面积为6，即△ABC的面积S==，求出m，从而得出解析式；
（2）作出矩形，用t表示出矩形的周长，利用二次函数的最值求出即可；
（3）首先表示出AB的长度，再利用=，QB+PQ=6，得出S_菱形ABMN=AB•NH=15k²≤48，当菱形面积取得最大值48时，k=，由AB=5k=1-m=．解出m的值，得出A点坐标．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，以及二次函数的最值问题，锐角三角函数问题和矩形菱形等知识，题目综合性较强．