Question

（1）如图1，点O是△ABC内任意一点，G、D、E分别为AC、OA、OB的中点，F为BC上一动点，问四边形GDEF能否为平行四边形？若可以，指出F点位置，并给予证明；
（2）（填空，使下列命题成立，不要求证明）如图3，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．
当

 

时，四边形EFGH为矩形；
当

 

时，四边形EFGH为菱形；
当

 

时，四边形EFGH为正方形．

Answer 1

分析：当F为BC中点时，四边形GDEF为平行四边形，因为连接OC后将把四边形AOBC分成两个三角形，然后根据三角形中位线平行且等于第三边的一半，来证明GD、FE即平行且相等，从而得出为平行四边形．

解答：解：（1）答：当F为BC中点时，四边形GDEF为平行四边形（2分）
证明：∵G、F分别是AC、BC中点
∴GF∥AB，且GF=

1

2

AB（2分）
同理可得，DE∥AB，且DE=

1

2

AB（2分）
∴GF∥DE，且GF=DE
∴四边形GDEF是平行四边形（2分）

（2）DB⊥AC（1分）；DB=AC（1分）；DB⊥AC，且DB=AC（2分）．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定及性质，以及矩形、菱形、正方形的判定，比较全面，难易程度适中．