题目内容
如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式
| x2+4 |
| (12-x)2+9 |
分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式
+
的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式
| x2+4 |
| (12-x)2+9 |
解答：
解：（1）
+
；（2分）
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（4分）
（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数
+
的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=
=
=13，
即
+
的最小值为13．（8分）
解：（1）| (8-x)2+4 |
| x2+1 |
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（4分）
（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数
| x2+4 |
| (12-x)2+9 |
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=
| AF2+EF2 |
| 122+52 |
即
| x2+4 |
| (12-x)2+9 |
点评：本题利用了数形结合的思想，求形如
+
的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
| x2+4 |
| (12-x)2+9 |
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