题目内容

如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设BC=x．

（1）当BC的长为多少时，点C到A、E两点的距离相等？
（2）用含x的代数式表示AC+CE的长；问点A、C、E满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点M（0，4），N（3，2），请根据（2）中的规律和结论构图在x轴上找一点P，使PM+PN最小，求出点P坐标和PM+PN的最小值．
分析：（1）当点C到A、E两点的距离相等即AC=EC，由勾股定理建立方程，解方程即可；
（2）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）根据在直线OX上的同侧有两个点M、N，在直线OX上有到M、M的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线OX的对称点，对称点与另一点的连线与OX的交点就是所要找的P．再利用勾股定理计算即可．
解答：解：（1）∵BC=x，BD=8，
∴CD=8-x，
∵AC=EC，
∴x2+52=（8-x）2+12，
解得：x=
5
2
，
∴当BC=
5
2
时，点C到A、E两点的距离相等；

（2）AC+CE=
x2+25
+
x2-16x+65
，
当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；

（3）如图所示：P（2，0），
∵PM=
OP 2+OM 2
=
20
=2
5
，
PN=
1 2+22
=
5
，
∴PM+PN最小值为 3
5
．
点评：本题利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解和利用轴对称求最短路线问题．
练习册系列答案
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（只填序号）．
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精英家教网如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
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c(c+x)你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．

如图，点C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，连结AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．

(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？

(3)根据(2)中规律和结论，请构图求出代数式＋的最小值．

如图，点C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，
BD=8，设CD=x。
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值。

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