Question

如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交CD于E，连ME；下列结论：
①∠BEC=60°；②MA+MD=

3

ME；③若BD=

6

，则EC=

3

-1．
其中正确的结论（　　）

A．只有①②

B．只有②③

C．只有①③

D．①②③

Answer 1

分析：先由等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=60°，则△DBC是顶角为150°的等腰三角形，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠BDC=15°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠BEC=∠BDE+∠DBE=60°，判断结论①正确；
连接AE，延长MA至F，使FA=DM，连接EF．易证△BDE≌△BAE，得出DE=AE，再利用SAS证明△EDM≌△EAF，得出EM=EF，∠DEM=∠AEF，则∠DEA=∠MEF=120°，在△MEF中，求出∠F=∠EMF=30°．过点E作EG⊥MF于点G，在Rt△GEM中，根据余弦函数的定义得出MF=

3

ME，进而得到MA+MD=

3

ME，判断结论②正确；
③连接AD，延长BE，交AD于点H．根据等腰直角三角形的性质得出DH=AH=BH=

1

2

AD=

3

，再求出∠EDH=30°，解Rt△DEH，得到DE=2，在△DBC中由余弦定理求出CD=3+

3

，则CE=CD-DE=

3

+1，判断结论③错误．

解答：解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵AB=BD，∠ABD=90°，
∴BC=BD，∠DBC=∠ABD+∠ABC=150°，
∴∠BDC=∠BCD=

180°-∠DBC

2

=15°，
又∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE=

1

2

∠ABD=45°，
∴∠BEC=∠BDE+∠DBE=15°+45°=60°，
故结论正确；

②连接AE，延长MA至F，使FA=DM，连接EF．
在△BDE与△BAE中，

BD=BA ∠DBE=∠ABE BE=BE

，
∴△BDE≌△BAE，
∴DE=AE，∠BED=∠BEA=180°-∠BEC=120°，
∴∠AED=360°-∠BED-∠BEA=120°．
∴∠AED+∠AMD=120°+60°=180°，
∴∠EAM+∠EDM=180°，
又∠EAM+∠EAF=180°，
∴∠EDM=∠EAF．
在△EDM与△EAF中，

DM=AF ∠EDM=∠EAF DE=AE

，
∴△EDM≌△EAF（SAS），
∴EM=EF，∠DEM=∠AEF，
∴∠DEM+∠AEM=∠AEF+∠AEM，即∠DEA=∠MEF=120°．
在△MEF中，∵∠MEF=120°，EM=EF，
∴∠F=∠EMF=30°．
过点E作EG⊥MF于点G，则MG=FG=

1

2

MF．
在△GEM中，∵∠EGM=90°，
∴cos∠EMG=

MG

ME

=

1 2 MF

ME

=

3

2

，
∴MF=

3

ME，
∵MF=MA+AF，AF=MD，
∴MA+MD=

3

ME，
故结论正确；

③连接AD，延长BE，交AD于点H．
∵AB=BD=

6

，BE平分∠ABD，AB⊥BD，
∴DH=AH=BH=

1

2

AD=

1

2

×

2

BD=

3

，∠BDH=45°，BH⊥AD，
由①知∠BDC=15°，
∴∠EDH=∠BDH-∠BDE=30°．
在Rt△DEH中，∵∠EHD=90°，∠EDH=30°，DH=

3

，
∴DE=

DH

cos30°

=2，
∵CD=

BD2+BC2-2BD•BC•cos150°

=

6+6-2× 6 × 6 ×(- 3 2 )

=3+

3

，
∴CE=CD-DE=3+

3

-2=

3

+1，
故结论错误．
故选A．

点评：本题考查了等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，余弦定理，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．