Question

如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线
段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.
（1）填空：点D的坐标为（     ），点E的坐标为（     ）.
（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.
（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E
落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，
并写出相应自变量t的取值范围.
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.

Answer 1

解：（1）D（－1，3），E（－3，2）。
        （2）抛物线经过（0，2）、（－1，3）、（－3，2），则
，解得 。
∴抛物线的解析式为
?        （3）①求出端点的时间：
当点D运动到y轴上时，如图1，DD₁=DC=BC =，t=。
当点B运动到y轴上时，如图2，BB₁=BC=，t=。
当点E运动到y轴上时，如图2，EE₁=ED＋DE₁=，t=。

当0＜t≤时，如图4，正方形落在y轴右侧部分的面积为△CC′F的面积，设D′C′交y轴于点F。

∵tan∠BCO==2，∠BCO=∠FCC′，
∴tan∠FCC′="2," 即=2。
∵CC′=t，∴FC′=2t。
∴S_△CC′F?=CC′·FC′=t×t="5" t²。
当＜t≤1时，如图5，正方形落在y轴右侧部分的面积为直角梯形CC′D′G的面积，设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H。

∵GH=BC=，∴CH=GH=。
∵CC′=t，∴HC′= GD′=t－。
∴
当1＜t≤时，如图6，正方形落在y轴右侧部分的面积为五边形B′C′D′MN的面积，设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N。

∵CC′=t，B′C′=,
∴CB′=t－。∴B′N=2CB′=t－。
∵B′E′=，∴E′N=B′E′－B′N=－t。
∴E′M=E′N= (－t)。
∴。
∴。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
②当点E运动到点E′时，运动停止，如图7所示。

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′，
∴△BOC∽△E′B′C。∴。
∵OB=2，B′E′=BC=，∴。
∴CE′=。
∴OE′=OC+CE′=1+。∴E′（0，）。
由点E（－3，2）运动到点E′（0，）,可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位。
∵，∴原抛物线顶点坐标为（）
?∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（）。

解析