Question

在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段BP和BQ；
（2）几秒钟后△PBQ的面积等于8cm²？
（3）当t为何值时，△ABC与△PBQ相似？

Answer 1

分析：（1）根据路程=速度×时间即可用含t的代数式表示线段BP和BQ；
（2）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，由（1）得到BP=6-x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程

1

2

×（6-x）×2x=8，求出即可；
（3）设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况

BP

AB

=

BQ

BC

和第二种情况

BP

BC

=

BQ

AB

代入求出即可．

解答：解：（1）∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP=t，BQ=2t，
∴BP=AB-AP=6-t；

（2）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴

1

2

BP×BQ=8，
∴

1

2

×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm²．

（3）设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一种情况：当时

BP

AB

=

BQ

BC

，△PBQ与△ABC相似，
即

6-a

6

=

2a

12

，
解得：a=3，
第二种情况：当

BP

BC

=

BQ

AB

时，△PBQ与△ABC相似，
即

6-a

12

=

2a

6

，
解得：a=1.2．
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过3或1.2秒钟，使△PBQ与△ABC相似．

点评：本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．