Question

如图，四边形ABCD为正方形，曲线DEFGHIJ…叫做“正方形ABCD的渐开线”．其中

DE

、

EF

、

FG

、

GH

、

HI

、

IJ

…的圆心依次按A、B、C、D循环．当渐开线延伸开时，形成了扇形S₁、S₂、S₃、S₄和一系列的扇形S₅、S₆、…．当AB=1时，它们的面积S₁=

π

4

，S₂=π，S₃=

9

4

π，S₄=4π，S₅=

25

4

π，…那么扇形的面积S₈=

16π

．

Answer 1

分析：先根据题意得出扇形S₁、S₂、S₃、S₄、S₅、S₆、…半径的关系，再根据S₁=

π

4

，S₂=π，S₃=

9

4

π，S₄=4π，S₅=

25

4

π，…，找出规律即可得出结论．

解答：解：∵

DE

、

EF

、

FG

、

GH

、

HI

、

IJ

…的圆心依次按A、B、C、D循环，AB=1，
∴扇形S₁、S₂、S₃、S₄、S₅、S₆、…半径分别为1，2，3，4，5，6…，
∴S₁=

90π×12

360

=

π

4

，S₂=

90π×22

360

=π，S₃=

90π×32

360

=

9

4

π，S₄=

90π×42

360

=4π，…
∴S₈=

90π×82

360

=16π．
故答案为：16π．

点评：本题考查的是扇形面积的计算，根据题意找出各扇形半径之间的关系是解答此题的关键．