Question

如图，矩形A₁B₁C₁D₁的面积为4，顺次连接各边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，再顺次连接四边形A₂B₂C₂D₂四边中点得到四边形A₃B₃C₃D₃，依此类推，求四边形A_nB_nC_nD_n的面积是

 

．

Answer 1

分析：易得四边形A₂B₂C₂D₂的面积=4÷2¹；S_{四边形A3B3C3D3}=4÷2²，即可得到求四边形A_nB_nC_nD_n的面积规律．

解答：解：∵四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴∠A₁=∠B1=∠C₁=∠D₁=90°，A₁B₁=C₁D₁，B₁C₁=A₁D₁；
又∵各边中点是A₂、B₂、C₂、D₂，
∴四边形A₂B₂C₂D₂的面积=S_△A1A2D2+S_△C1D1D2+S_△C1B2C2+S_△B1B2A2
=

1

2

•

1

2

A₁D₁•

1

2

A₁B₁×4
=

1

2

矩形A₁B₁C₁D₁的面积，即四边形A₂B₂C₂D₂的面积=

1

2

矩形A₁B₁C₁D₁的面积；
同理，得
四边形A₃B₃C₃D₃=

1

2

四边形A₂B₂C₂D₂的面积=

1

4

矩形A₁B₁C₁D₁的面积；
以此类推，四边形A_nB_nC_nD_n的面积=

1

2n-1

矩形A₁B₁C₁D₁的面积=

4

2n-1

=

1

2n-3

．
故答案是：

1

2n-3

．

点评：顺次连接各边中点得到四个全等的三角形，找到相应的规律是解决本题的关键．