Question

如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD＝．将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD’E’(如图②，点D’、 E’分别与点D、E对应)，点E’在AB上，D’E’与AC相交于点M．

(1)求∠ACE’的度数；

(2)求证：四边形ABCD’是梯形；

(3)求△AD’M的面积．

Answer 1

解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°．

∵DE//AB，∴∠DEC= ∠DCE=45°，∠EDC=90°，

∵DE=CD=2，∴CE=CE‘=4．

在Rt△ACE’中，∠E’AC=90°，AC=2，CE ‘=4，

∴cos∠ACE’=,∴∠ACE’=30。

(2)∵∠D’CE=∠ACB=45°，∠ACE’=30°．∠D’CA=∠E’CB=15°．

又,∴△D‘CA∽△E’CB．

∴∠D’AC=∠B=45°．∴∠ACB=∠D’AC．

∴AD’//BC．∴∠B=45°，∠D’CB=60°，

∴∠ABC与∠D’CB不互补，

∴AB与D’C不平行．∴四边形ABCD ‘是梯形．

(3)如图，过点C作CF⊥AD’，垂足为F’．∵AD’∥BC，∴CF⊥BC．

∴∠FCD’=∠ACF一∠ACD’=30°．

在Rt△ACF中，AF=CF=，∴S_△ACF=3．

在Rt△D’CF中，  CD’=2，∠FCD’=30°，∴D’F=，∴S_△D’CF=．

同理，S_Rt△AE’C=2，S_{Rt△D’E’C}=4．∵∠AME’=∠D’MC，∠E’AM=∠CD’M，

∴△AME’∽△D’MC．∴,

∴ S_△AE’M= S_△CD’M 

 (1)∵S_△E’MC+S_△AE’M=S_△AE’C=2  (2)，S_△E’MC+S_△CD’M=S_△DE’C=4 

(3)．(3)一(2)，得S_△CD’M－S_△AE’M=4－2．

由S_△CD’M=8―4．∴S_△AD’M=S_△ACF一S_△D’CF―S_△CD’M=3一5，

∴△AD’M的面积是3一5