题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）运动
秒使△MBN的面积最大，最大面积是
；（3）P（3， 
）或（5， 
）．
【解析】试题分析：（1）由线段的长度得出点A、B、C的坐标，然后把A、B、C三点的坐标分别代入
，解方程组，即可得抛物线的解析式；
（2）设运动时间为t秒，则MB=6﹣3t，然后根据△BHN∽△BOC，求得NH=
t，再利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式S△MBN=﹣
（t﹣
）2+
，利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为
．由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为（m， 
）．过点P作PE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△PBC=
．则根据图形得到S△PBC=S△CEP+S△BEP=
EPm+
EP（8﹣m），把相关线段的长度代入推知： 
=
．
试题解析：解：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根据函数图象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），根据题意得： 
，解得： 
，∴抛物线的解析式为
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=10﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，6）．在Rt△BOC中，BC=
=10．如图，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴
，即
，∴HN=
t，∴S△MBN=
MBHN=
（10﹣3t）
t=
=﹣
（t﹣
）2+
，当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t=
时，S△MBN最大=
．
答：运动
秒使△MBN的面积最大，最大面积是
；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（8，0），C（0，6）代入，得： 
，解得： 
，∴直线BC的解析式为
．
∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m， 
），如图，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为（m， 
）．
∴EP=
﹣（
）=
，当△MBN的面积最大时，S△PBC=9 S△MBN=
，∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=
EPm+
EP（8﹣m）=
×8EP=4×（
）=
，即
=
．解得m1=3，m2=5，∴P（3， 
）或（5， 
）．
