Question

如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
（1）点P在BC上运动的过程中y的最大值为______cm；
（2）当y=cm时，求x的值为______

Answer 1

【答案】分析：（1）不管P如何移动，都有△ABP∽△PCQ，根据比例线段可得到关于y的表达式，再根据二次函数来求出y的最大值．
（2）由y的值代入函数式即可求出x的值．
解答：解：（1）∵PQ⊥AP，∠CPQ+∠APB=90度．
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴tan∠CPQ=tan∠BAP，
因此，点在BC上运动时始终有，
∵AB=BC=4，BP=x，CQ=y，
∴，
∴y=-（x²-4x）=（x²-4x+4）+1=-（x-2）²+1（0＜x＜4），
∵a=-＜0，
∴y有最大值（当x=2时），y最大=1（cm）；

（2）由（1）知，y=-（x²-4x）当y=cm时，=-（x²-4x），
整理，得x²-4x+1=0，
∵b²-4ac=12＞0，
∴x=．
∵0＜2±＜4，
∴当y=cm时，x的值是（2+）cm或（2-）cm．
点评：本题主要运用了相似三角形的判定和性质，以及二次函数求最大值的内容和相关知识．