Question

如图，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分(如图)．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，每平方米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上新建爱心鱼池，每平方米投资4元．

(1)当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？

(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设FG＝x米，则AK＝(80－x)米，△AHG∽△ABC，BC＝120，AD＝80，可得＝． 　　所以HG＝120－x． 　　BE＋FC＝120－(120－x)＝x． 　　所以(120－x)·(80－x)＝×x·x，解得x＝40． 　　所以当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等． 　　(2)答：当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元． 　　设改造后的总投资为W元， 　　W＝(120－x)·(80－x)·6＋×x·x·10＋x(120－x)·4＝6x2－240x＋28800＝6(x－20)2＋26400． 　　所以当x＝20时，W最小＝26400．